số hoàn hảo

Bách khoa toàn thư phanh Wikipedia

Số trả hảo (hay hay còn gọi là số trả chỉnh, số trả thiện hoặc số trả thành) là một vài vẹn toàn dương nhưng mà tổng những ước vẹn toàn dương thực sự của chính nó (các số vẹn toàn dương bị nó phân chia không còn nước ngoài trừ nó) vì chưng chủ yếu nó.

Bạn đang xem: số hoàn hảo

Định nghĩa số hoàn hảo[sửa | sửa mã nguồn]

Số tuyệt vời nhất là những số vẹn toàn dương n sao cho:

trong cơ, s(n) là hàm tổng những ước thực sự của n. Ví dụ:

Hoặc:

trong cơ, là hàm tổng những ước của n, bao hàm cả n).

Các số hoàn hảo chẵn[sửa | sửa mã nguồn]

Euclid vẫn tò mò rời khỏi 4 số hoàn hảo nhỏ nhất bên dưới dạng: 2p−1(2p − 1):

Chú ý rằng: 2p − 1 đều là số nhân tố trong những ví dụ bên trên, Euclid chứng tỏ rằng công thức: 2p−1(2p − 1) tiếp tục mang lại tao một số hoàn hảo chẵn Lúc và chỉ Lúc 2p − một là số nhân tố (số nhân tố Mersenne).

Các mái ấm toán học tập cổ điển đồng ý đó là 4 số hoàn hảo nhỏ nhất mà người ta biết, tuy nhiên phần lớn những giả thiết bên trên phía trên dường như không được chứng tỏ là đích thị. Một nhập số này đó là nếu như 2, 3, 5, 7 là tứ số nhân tố thứ nhất thì chắc chắn sẽ sở hữu số đầy đủ loại năm Lúc p = 11, số nhân tố loại năm. Nhưng 211 − 1 = 2047 = 23 × 89 lại là ăn ý số, và thế là p = 11 ko nhận được số hoàn hảo. 2 sai lầm đáng tiếc không giống của mình là:

Số tuyệt vời nhất loại năm nên với năm chữ số bám theo hệ cơ số 10 vì thế tứ số hoàn hảo thứ nhất với theo lần lượt 1, 2, 3, 4 chữ số

Chữ số mặt hàng đơn vị chức năng của số hoàn hảo nên là 6, 8, 6, 8 và cứ thế tái diễn.

Xem thêm: vợ yêu thịnh thế của thiếu tướng

Số tuyệt vời nhất loại năm là bao hàm 8 chữ số, vậy nhận định và đánh giá 1 vẫn sai, về nhận định và đánh giá thứ hai thì số này tận nằm trong là 6. Tuy nhiên cho tới số hoàn hảo loại sáu là thì cũng tận nằm trong là 6. Nói cách tiếp theo bất kể số hoàn hảo chẵn nào thì cũng nên với chữ số tận nằm trong là 6 hoặc 8.

Để là số nhân tố thì ĐK cần thiết tuy nhiên ko đầy đủ là p là số nhân tố. Số nhân tố với dạng 2p − 1 được gọi là Số nhân tố Mersenne sau thời điểm được một mái ấm tu nhập thế kỷ 17 là Marin Mersenne, người học tập lý thuyết số và số hoàn hảo lần rời khỏi.

Hơn 1000 năm tiếp theo Euclid, Ibn al-Haytham Alhazen circa xem sét rằng từng số hoàn hảo chẵn đều nên với dạng 2p−1(2p − 1) Lúc 2p − một là số nhân tố, tuy nhiên ông tao ko thể chứng tỏ được sản phẩm này.[1] Mãi cho tới thế kỷ 18 là Leonhard Euler vẫn chứng tỏ công thức 2p−1(2p − 1) là tiếp tục lần rời khỏi những số hoàn hảo chẵn. Đó là nguyên do dẫn cho tới sự tương tác thân ái số hoàn hảo và số nhân tố Mersenne. Kết trái ngược này thông thường được gọi là thuyết Euclid-Euler. Tính đến mon 9 năm 2008, mới nhất chỉ mất 46 số Mersenne được lần rời khỏi,[2] với nghĩa đó là số hoàn hảo loại 46 được biết, số lớn số 1 là 243.112.608 × (243.112.609 − 1) với 25.956.377 chữ số.

39 số hoàn hảo chẵn thứ nhất với dạng 2p−1(2p − 1) khi

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (dãy số A000043 nhập bảng OEIS)

7 số không giống được biết là lúc p = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 43112609. Chưa ai biết là với nhằm sót số nào là thân ái bọn chúng hoặc không

Cũng không có ai biết chắc chắn là là với vô hạn số nhân tố Mersenne và số hoàn hảo hay là không. Việc lần rời khỏi những số nhân tố Mersenne vừa được triển khai vì chưng những siêu máy tính

Các số hoàn hảo đều là số tam giác loại 2p − 1 (là tổng của toàn bộ những số ngẫu nhiên từ một cho tới 2p − 1):

p = 2:
p = 3:
p = 5:
p = 7:

Các số hoàn hảo đều là tổng hợp chập 2 của 2p:

p = 2:
p = 3:
p = 5:
p = 7:

Các số hoàn hảo đều phải sở hữu tổng những nghịch tặc hòn đảo của những ước (kể cả chủ yếu nó) đích thị vì chưng 2:

6:
28:
496:
8128:

Số 6 là số ngẫu nhiên độc nhất với tổng những ước vì chưng tích những ước (không kể chủ yếu nó):

Trừ số 6, từng số hoàn hảo đều là tổng của 2(p−1)/2 số lập phương lẻ tiếp tục kể từ 13 cho tới (2(p+1)/2 − 1)3:

Xem thêm: truyện đường một chiều

p = 3:
p = 5:
p = 7:

Trừ số 6, từng số hoàn hảo Lúc phân chia 9 thì đều nhận được thương là số tam giác loại (2p − 2)/3 và số dư là 1:

p = 3:
p = 5:
p = 7:

Số tuyệt vời nhất lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Hiện bên trên người tao vẫn không biết được liệu số hoàn hảo lẻ nào là ko tuy nhiên vẫn có không ít sản phẩm phân tích. Trong 1946, Jacques Lefèvre tuyên bố rằng luật của Euclid mang lại từng số hoàn hảo[3], tức là nhận định rằng không tồn tại số hoàn hảo lẻ nào là tồn bên trên cả. Euler thì rằng rằng: "Liệu ... với số hoàn hảo lẻ nào là là thắc mắc rất rất khó khăn rất có thể giải đáp".[4] Gần phía trên rộng lớn, Carl Pomerance đã mang rời khỏi bàn bạc vì chưng heuristic rằng quả tình ko số hoàn hảo lẻ nào là nên tồn bên trên [5] Tất cả những số hoàn hảo đều là số điều tiết của Ore và lúc này người tao vẫn đang được fake thuyết không tồn tại số điều tiết lẻ nào là nước ngoài trừ số 1.

Bất cứ số hoàn hảo lẻ N nên thỏa mãn nhu cầu những ĐK sau:

  • N > 101500.[6]
  • N ko phân chia không còn vì chưng 105.[7]
  • N bên dưới dạng N ≡ 1 (mod 12) hoặc N ≡ 117 (mod 468) hoặc N ≡ 81 (mod 324).[8]
  • N bên dưới dạng
trong đó:

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Danh sách số nhân tố Mersenne và số hoàn hảo

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham”, Bộ tàng trữ lịch sử dân tộc toán học tập MacTutor, Đại học tập St. Andrews
  2. ^ “Great Internet Mersenne Prime Search”. Truy cập 7 mon 10 năm 2015.
  3. ^ Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. tr. 6.
  4. ^ http://www.math.harvard.edu/~knill/seminars/perfect/handout.pdf[liên kết URL chỉ mất từng PDF]
  5. ^ Oddperfect.org. Lưu trữ 2006-12-29 bên trên Wayback Machine
  6. ^ a b c Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2012). “Odd perfect numbers are greater than thở 101500(PDF). Mathematics of Computation. 81 (279): 1869–1877. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN 0025-5718. Zbl 1263.11005.
  7. ^ Kühnel, Ullrich (1950). “Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen”. Mathematische Zeitschrift (bằng giờ Đức). 52: 202–211. doi:10.1007/BF02230691. S2CID 120754476.
  8. ^ Roberts, T (2008). “On the Form of an Odd Perfect Number” (PDF). Australian Mathematical Gazette. 35 (4): 244.
  9. ^ a b Zelinsky, Joshua (3 mon 8 năm 2021). “On the Total Number of Prime Factors of an Odd Perfect Number” (PDF). Integers. 21. Truy cập ngày 7 mon 8 năm 2021.
  10. ^ Chen, Yong-Gao; Tang, Cui-E (2014). “Improved upper bounds for odd multiperfect numbers”. Bulletin of the Australian Mathematical Society. 89 (3): 353–359. doi:10.1017/S0004972713000488.
  11. ^ Nielsen, Pace Phường. (2003). “An upper bound for odd perfect numbers”. Integers. 3: A14–A22. Truy cập ngày 23 mon 3 năm 2021.
  12. ^ Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2014). “On the number of prime factors of an odd perfect number”. Mathematics of Computation. 83 (289): 2435–2439. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02776-7.
  13. ^ Pomerance, Carl; Luca, Florian (2010). “On the radical of a perfect number”. New York Journal of Mathematics. 16: 23–30. Truy cập ngày 7 mon 12 năm 2018.
  14. ^ Goto, T; Ohno, Y (2008). “Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108(PDF). Mathematics of Computation. 77 (263): 1859–1868. Bibcode:2008MaCom..77.1859G. doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 7 mon 8 năm 2011. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  15. ^ Konyagin, Sergei; Acquaah, Peter (2012). “On Prime Factors of Odd Perfect Numbers”. International Journal of Number Theory. 8 (6): 1537–1540. doi:10.1142/S1793042112500935.
  16. ^ Iannucci, DE (1999). “The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand” (PDF). Mathematics of Computation. 68 (228): 1749–1760. Bibcode:1999MaCom..68.1749I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  17. ^ Zelinsky, Joshua (tháng 7 năm 2019). “Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number”. International Journal of Number Theory. 15 (6): 1183–1189. arXiv:1810.11734. doi:10.1142/S1793042119500659. S2CID 62885986..
  18. ^ Iannucci, DE (2000). “The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred” (PDF). Mathematics of Computation. 69 (230): 867–879. Bibcode:2000MaCom..69..867I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  19. ^ Bibby, Sean; Vyncke, Pieter; Zelinsky, Joshua (23 mon 11 năm 2021). “On the Third Largest Prime Divisor of an Odd Perfect Number” (PDF). Integers. 21. Truy cập ngày 6 mon 12 năm 2021.
  20. ^ Nielsen, Pace Phường. (2015). “Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds” (PDF). Mathematics of Computation. 84 (295): 2549–2567. doi:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X. Truy cập ngày 13 mon 8 năm 2015.
  21. ^ Nielsen, Pace Phường. (2007). “Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors” (PDF). Mathematics of Computation. 76 (260): 2109–2126. arXiv:math/0602485. Bibcode:2007MaCom..76.2109N. doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. S2CID 2767519. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
  • Perfect numbers - History and Theory
  • Weisstein, Eric W., "perfect number", MathWorld.
  • List of Perfect Numbers Lưu trữ 2001-07-15 bên trên Wayback Machine at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  • List of known Perfect Numbers Lưu trữ 2009-05-03 bên trên Wayback Machine All known perfect numbers are here.
  • OddPerfect.org Lưu trữ 2018-11-06 bên trên Wayback Machine A projected distributed computing project lớn tìm kiếm for odd perfect numbers.