Giới hạn (toán học)

Bách khoa toàn thư phanh Wikipedia

Đây là nội dung bài viết phát biểu cộng đồng về định nghĩa giới hạn nhập Toán học tập. Với những phần mềm ví dụ, hãy coi những trang giới hạn sản phẩm số và giới hạn hàm số.

Trong toán học tập, định nghĩa giới hạn được dùng nhằm chỉ độ quý hiếm tuy nhiên một hàm số hoặc một sản phẩm số tiến thủ sát cho tới khi đổi thay số ứng tiến thủ sát cho tới một độ quý hiếm này cơ. Trong một không khí rất đầy đủ, định nghĩa giới hạn được chấp nhận tao xác lập một điểm mới nhất từ là một sản phẩm Cauchy những điểm đã và đang được xác lập trước. Giới hạn là định nghĩa cần thiết của Giải tích và được dùng nhằm khái niệm về tính chất liên tiếp, đạo hàm và luật lệ tính tích phân.

Bạn đang xem: giới hạn

Khái niệm giới hạn sản phẩm số được tổng quát mắng hóa trở nên giới hạn của một lưới topo, và tương tác nghiêm ngặt với những định nghĩa giới hạn và giới hạn thẳng nhập lý thuyết phạm trù.

Người tao ký hiệu giới hạn bằng văn bản lim (viết tắt chữ giờ đồng hồ Anh limit). Ví dụ nhằm chỉ a là giới hạn của sản phẩm số (a_n) tao ghi chép lim(a_n) = a hoặc a_n → a.

Giới hạn của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chính: Giới hạn hàm số

Với từng x > S, f(x) ở trong tầm ε (L - ε, L + ε)

Giả sử f(x) là một trong hàm số độ quý hiếm thực và c là một vài thực. Biểu thức

có tức thị f(x) tiếp tục càng sát L nếu như x đầy đủ sát c. Trong tình huống này, tao phát biểu giới hạn của f(x), khi x đạt cho tới c là L. Cần lưu ý rằng điều này cũng như cả khi f(c) ≠ L tương tự khi hàm số f(x) ko xác lập bên trên c. Ví dụ, xét hàm số

thì f(1) ko xác lập tuy nhiên khi x tiến thủ cho tới 1 thì f(x) tiến thủ cho tới 2:

f(0,9)	f(0,99)	f(0,999)	f(1,0)	f(1,001)	f(1,01)	f(1,1)
1,900	1,990	1,999	không xác định	2,001	2,010	2,100

Như vậy, f(x) rất có thể sát 2 một cơ hội tùy ý, chỉ việc mang đến x đầy đủ sát 1.

Karl Weierstrass đang được kiểu dáng hóa khái niệm giới hạn hàm số bởi cách thức (ε, δ) nhập thế kỉ 19.

Ngoài tình huống hàm số f(x) sở hữu giới hạn bên trên một điểm hữu hạn, hàm số f(x) còn rất có thể sở hữu giới hạn bên trên vô rất rất. Ví dụ, xét hàm số

f(100) = 1,9900
f(1000) = 1,9990
f(10000) = 1,9999

Khi x trở thành vô nằm trong rộng lớn thì độ quý hiếm của f(x) tiến thủ dần dần cho tới 2, và độ quý hiếm của f(x) rất có thể sát 2 một cơ hội tùy ý, chỉ việc mang đến x đầy đủ rộng lớn. Ta phát biểu "giới hạn của hàm số f(x) bên trên vô rất rất bởi 2" và viết

Giới hạn của sản phẩm số[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chính: Giới hạn sản phẩm số

Xét sản phẩm số sau: 1,79, 1,799, 1,7999,... Ta rất có thể nhận ra rằng sản phẩm số này "tiến dần" cho tới 1,8, này là giới hạn của sản phẩm.

Một cơ hội kiểu dáng, fake sử x₁, x₂,... là một trong sản phẩm những số thực. Ta gọi số thực L là giới hạn của sản phẩm và viết:

nếu

Với từng số thực ε > 0, tồn bên trên số đương nhiên n₀ sao mang đến với từng n > n₀, |x_n − L| < ε.

Về mặt mũi trực quan, điều này Tức là toàn bộ những số hạng sau một vài hạng này cơ của sản phẩm đều tiếp tục sát với giới hạn "L" một cơ hội tùy ý, chính vì độ quý hiếm vô cùng |x_n − L| là khoảng cách thân thiết x_n và L. Không cần sản phẩm số này cũng có thể có giới hạn; nếu như một sản phẩm sở hữu giới hạn thì tao gọi sản phẩm này là hội tụ, còn ngược lại, tao phát biểu sản phẩm cơ phân kì. Người tao đang được chứng tỏ được rằng một sản phẩm số quy tụ chỉ tồn tại một giới hạn độc nhất.

Giới hạn của sản phẩm số và giới hạn của hàm số sở hữu quan hệ trực tiếp. Một mặt mũi, giới hạn của sản phẩm số thực ra là giới hạn của một hàm số sở hữu đổi thay số là số đương nhiên. Mặt không giống, giới hạn của một hàm số f bên trên x, nếu như tồn bên trên, đó là giới hạn của sản phẩm số x_n = f(x + 1/n).

Cách giải[sửa | sửa mã nguồn]

Dạng so với giới hạn bên trên một điểm

Ví dụ 1:

Bước 1: Ta thế 4 nhập phương trình f(x) thì sẽ tiến hành dạng nên xác định đó là dạng .

Bước 2: Biến đổi:

Xem thêm: bố già 2021 netflix

<=> <=>

Lúc này tao tiếp tục thế 4 nhập sẽ tiến hành

Ví dụ 2:

Lúc này tao biến hóa nó bằng phương pháp nhân lượng phối hợp cho tất cả tử và mẫu:

= = =

Ta phân chia cả tử và kiểu mang đến x, tao được:

Thế 0 nhập tao được

Dạng so với giới hạn vô cực: Ta phân chia mang đến số nón lớn số 1 của tử và kiểu.

Ví dụ 1: Dạng đang được đổi thay đổi

Lúc này tao thấy số nón lớn số 1 của tử và kiểu là x², vậy nên tao tiếp tục phân chia cả tử và kiểu mang đến x²

= = 2

Ví dụ 2: Dạng ko đổi thay đổi

= = =

Lưu ý: Dạng ko cần chỉ vận dụng với dạng phân thức tuy nhiên bao gồm nhiều thức. VD:

Dạng : Ta tiếp tục nhân lượng liên hợp

Ví dụ:

= = = = =

Xem thêm: bae soo bin

Ví dụ:

= = = 0

Khả năng tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Các giới hạn rất có thể khó tính khó nết toán. Có một vài biểu thức giới hạn tuy nhiên mô-đun quy tụ của chính nó là loại ko thể ra quyết định được. Trong lí thuyết đệ quy, té đề giới hạn chứng tỏ rằng trọn vẹn rất có thể biên mã những yếu tố ko ra quyết định được bằng phương pháp dùng những giới hạn.^[1]