Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

Nguyên hàm là 1 trong những trong mỗi chuyên mục cần thiết của Giải tích Toán 12 và thông thường xuất hiện nay nhiều trong số kì đua ĐH. Vậy đem những công thức nguyên vẹn hàm cần thiết nào là cần thiết nhớ? Team Marathon Education sẽ hỗ trợ những em trả lời và mò mẫm nắm rõ rộng lớn về bảng công thức nguyên vẹn hàm kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên và cách thức giải bài bác tập luyện nguyên vẹn hàm thịnh hành qua chuyện nội dung bài viết tiếp sau đây.

>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Hướng Dẫn Giải Bài Tập

Bạn đang xem: các công thức nguyên hàm

Nguyên hàm là gì?

Trước khi, lên đường sâu sắc vô mò mẫm hiểu công thức về nguyên vẹn hàm, những em cần thiết nắm rõ định nghĩa nguyên vẹn hàm cũng như các đặc thù và toan lý tương quan.

Định nghĩa nguyên vẹn hàm

Cho hàm số f(x) xác lập bên trên K, thời điểm hiện nay hàm số F(x) được gọi là nguyên vẹn hàm của hàm số f(x) bên trên K nếu như F’(x) = f(x) (với từng x ∊ K, K hoàn toàn có thể là khoảng tầm, đoạn hoặc nửa đoạn bên trên ℝ).

Kí hiệu nguyên vẹn hàm của hàm số f(x) là:

\int f(x)dx=F(x)+C \ \ \ (\forall \ C\in\R)

Định lý nguyên vẹn hàm

3 toan lý của nguyên vẹn hàm là:

Định lý 1: Giả sử F(x) là 1 trong những nguyên vẹn hàm của f(x) bên trên K. Khi bại liệt, với từng hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 trong những nguyên vẹn hàm của f(x).
Định lý 2: Trên K, nếu như F(x) là 1 trong những nguyên vẹn hàm của hàm số f(x) thì từng nguyên vẹn hàm của f(x) bên trên K đều phải có dạng F(x) + C, với C là 1 trong những hằng số tùy ý.
Định lý 3: Trên K, toàn bộ hàm số f(x) liên tiếp đều phải có nguyên vẹn hàm.

Tính hóa học nguyên vẹn hàm

3 đặc thù cơ bạn dạng của nguyên vẹn hàm được thể hiện nay như sau:

\begin{aligned}
&\footnotesize\bull\text{Nếu f(x) là hàm số đem nguyên vẹn hàm thi: }(\smallint f(x)dx)'=f(x)\ \text{và }\\ 
&\footnotesize\smallint f'(x)dx=f(x) +C.\\
&\footnotesize\bull\text{Nếu F(x) đem đạo hàm thì }\smallint d(F(x))=F(x)+C.\\
&\footnotesize\bull\text{Tích của nguyên vẹn hàm với k là hằng số không giống 0: }\smallint kf(x)dx=k\smallint f(x)dx.\\
&\footnotesize\bull\text{Tổng, hiệu của nguyên vẹn hàm: }\smallint [f(x)\pm g(x)]=\smallint f(x)dx\pm \smallint g(x)dx
\end{aligned}

Bảng công thức nguyên vẹn hàm cơ bạn dạng, không ngừng mở rộng và nâng cao

Mỗi dạng nguyên vẹn hàm đều phải có những công thức riêng biệt. Những công thức này và được tổ hợp trở thành những bảng tiếp sau đây nhằm những em đơn giản dễ dàng phân loại, ghi ghi nhớ và vận dụng đúng đắn.

Bảng công thức nguyên vẹn hàm cơ bản

Bảng công thức nguyên vẹn hàm há rộng

Bảng công thức nguyên vẹn hàm nâng cao

Bảng nguyên vẹn hàm hàm con số giác

2 cách thức giải bài bác tập luyện nguyên vẹn hàm phổ biến

Phương pháp thay đổi thay đổi số

Đây là cách thức được dùng thật nhiều khi hương nguyên hàm. Vì vậy, những em cần được nắm rõ cách thức này nhằm giải những Việc nguyên vẹn hàm nhanh chóng và đúng đắn rộng lớn.

Phương pháp thay đổi thay đổi loại 1:

Cho hàm số u = u(x) đem đạo hàm liên tiếp bên trên K, hắn = f(u) liên tiếp nhằm f[u(x)] xác lập bên trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:

∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C

Cách giải:

Đầu tiên, lựa chọn t = φ(x) và tính vi phân nhị vế: dt = φ'(t)dt.

Sau bại liệt, biến hóa biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp thay đổi thay đổi loại 2: Khi đề bài bác mang lại hàm số f(x) liên tiếp bên trên K và x = φ(t) là 1 trong những hàm số xác lập, liên tiếp bên trên K và đem đạo hàm là φ'(t). Lúc này:

∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt

Cách giải:

Đầu tiên, lựa chọn x = φ(t) và lấy vi phân nhị vế: dx = φ'(t)dt.

Thực hiện nay thay đổi đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp nguyên vẹn hàm từng phần

Phương pháp chung

Định lý: Nếu nhị hàm số u(x) và v(x) đem đạo hàm liên tiếp bên trên K thì:

\small \smallint u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\smallint v(x)u'(x)dx\ \text{hay} \ \smallint udv=uv-\smallint vdu\\ (\text{với }du=u'(x)dx, \ dv=v'(x)dx)

Cách giải:

Trước không còn, những em cần thiết biến hóa tích phân trước tiên về dạng:

I=\int f(x)dx=\int f_1(x)f_2(x)dx

Tiếp bám theo, đặt:

\begin{cases}u=f_1(x)\\dv=f_2(x)\end{cases}
\implies \begin{cases}du=f'_1(x)dx\\v=\int f_2(x)dx\end{cases}

Lúc này thì những em tiếp tục có:

\smallint udv=uv-\smallint vdu

Tùy nằm trong vào cụ thể từng dạng toán rõ ràng nhưng mà những em vận dụng cách thức sao mang lại thích hợp.

Các dạng nguyên vẹn hàm từng phần thông thường gặp

Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3:

>>> Xem thêm: Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần Và Công Thức Tính Chi Tiết Nhất

Bài tập luyện về công thức nguyên vẹn hàm

Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

a. Hãy nêu khái niệm nguyên vẹn hàm của hàm số mang lại trước f(x) bên trên một khoảng tầm.

b. Phương pháp tính nguyên vẹn hàm từng phần là gì? Đưa đi ra ví dụ minh họa mang lại phương pháp tính đang được nêu.

Hướng dẫn giải bài bác tập:

a. Xét hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên tập luyện xác lập D.

Hàm số Y = F(x) được gọi là nguyên vẹn hàm của hàm số hắn = f(x) bên trên D khi Y = F(x) thỏa mãn nhu cầu ĐK F'(x) = f(x) ∀ x ∈ D.

Xem thêm: căn phòng số 7

Phương pháp tính nguyên vẹn hàm từng phần được khái niệm như sau:

Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) đem đạo hàm liên tiếp bên trên D, khi bại liệt tao đem công thức:

∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u’(x)dx hoặc ∫udv = uv – ∫vdv

Ví dụ minh họa: Tính nguyên vẹn hàm của hàm số A = ∫xe^xdx

Lời giải:

\begin{aligned}
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u=x
\\
dv=e^xdx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=dx
\\
v=e^x
\end{cases}
\\
& \small \text{Khi bại liệt, } A = \smallint xe^xdx = xe^x - \smallint e^xdx = xe^x - e^x + C
\end{aligned}

Bài 2 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

a. Nêu khái niệm tích phân hàm số f(x) bên trên đoạn [a;b]

b. Tính hóa học của tích phân là gì? Nêu ví dụ rõ ràng.

Hướng dẫn giải bài bác tập:

a. Xét hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên [a; b], gọi F(x) là nguyên vẹn hàm của f(x) bên trên [a;b]

Khi bại liệt, tích phân cần thiết mò mẫm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:

I = \intop_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

b. Tính hóa học của tích phân:

\begin{aligned}
&\intop^a_bf(x)dx=0\\
&\intop^b_af(x)dx=-\intop^a_bf(x)dx\\
&\intop^b_akf(x)dx=k\intop^b_af(x)dx\\
&\intop^b_a{[f(x)\pm g(x)]}dx = \intop^b_a{f(x)dx}\pm \intop^b_a{g(x)dx}\\
&\intop^b_af(x)dx=\intop^c_af(x)dx+\intop^b_cf(x)dx
\end{aligned}

Bài 3 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

Tìm nguyên vẹn hàm của những hàm số đang được mang lại bên dưới đây:

\begin{aligned}
&a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\\
&b. f(x)=sin(4x).cos^2(2x)\\
&c. f(x)=\frac{1}{1-x^2}\\
&d. f(x)=(e^x-1)^3
\end{aligned}

Hướng dẫn giải bài bác tập:

a. Ta có:

(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1

Suy ra

\begin{aligned}
\small\int(x-1)(1-2x)(1-3x)dx&\small=\int(6x^3-11x^2+6x-1)dx\\
&\small =\frac{3}{2}x^4-\frac{11}{3}x^3+3x^2-x+C
\end{aligned}

b. Ta có:

\begin{aligned}
\small sin(4x).cos^2(2x)&=\frac{1}{2}sin4x.cos4x+\frac{1}{2}sin4x\\&=\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x
\end{aligned}

Suy ra:

\small \int(\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x)dx=-\frac{cos8x}{32}-\frac{cos4x}{8}+C

c. Ta có:

\begin{aligned}
\small f(x)&=\small \frac{1}{1-x^2}\\
&=\small \frac{1}{(1-x)(1+x)}\\ 
&=\small \frac{1}{2}.\frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}\\
&=\small \frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x}
\end{aligned}

Suy ra:

\begin{aligned}
\int f(x)dx&=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \\
&=\frac{1}{2}(ln|1+x|+ln|1-x|)+C\\
&=\frac{1}{2}ln\big|(1+x)(1-x)\big|+C\
\end{aligned}

d. Với bài bác tập luyện này, những em hoàn toàn có thể tuân theo cơ hội giải thường thì là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi vận dụng tính nguyên vẹn hàm mang lại từng hàm nhỏ. Hoặc những em còn hoàn toàn có thể dùng cơ hội bịa ẩn phụ nhằm giải mò mẫm nguyên vẹn hàm như sau:

Đặt\ t=e^x \implies dt=e^x.dx=t.dx \implies \frac{dt}{t}=dx

Ta có:

\begin{aligned}
\int f(x)dx&=\int(e^x-1)^3dx\\
&=\int \frac{(t-1)^3}{t}dt\\
&=\int \left(t^2-3t+3-\frac{1}{t}\right)dt\\
&=\frac{1}{3}t^3-\frac{3}{2}t^2+3t-ln|t|+C\\
&=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-ln|e^x|+C\\
&=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-x+C'\\
&(Với\ C' = C-1)
\end{aligned}

Bài 4 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

Tính một vài nguyên vẹn hàm sau:

\begin{aligned}
&a)\int(2-x).sinxdx\\
&b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\
&c) \int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\
&d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\
&e)\int\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\\
&f)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)dx}
\end{aligned}

Hướng dẫn giải bài bác tập:

\begin{aligned}
&\text{a) Đặt} \begin{cases}u=2-x\\dv=sinxdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=-dx\\v=-cosx\end{cases}\\
&\text{Theo công thức tính tích phân từng phần:}\\
&\int(2-x)sinxdx\\
&=(2-x)(-cosx)-\int cosxdx\\
&=(x-2)cosx-sinx +C\\
&b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(x^2+2x+1}{\sqrt{x}}dx\\
&=\int (x^\frac{3}{2}+2x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2})dx\\
&=\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}+2.\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+2.x^\frac{1}{2}+C\\
&=\sqrt{x}(\frac{2}{5}x^2+\frac{4}{3}x+2)+C\\
&c)\int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\
&=\int\frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^x+1}\\
&=\int (e^{2x}-e^x+1)dx\\
&=\frac{1}{2}e^{2x}-e^x+x +C\\
&d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\
&=\int\frac{1}{[\sqrt{2}.cos(x-\frac{\pi}{4})]^2}dx\\
&=\int\frac{1}{2.cos^2(x-\frac{\pi}{4})}dx\\
&=\frac{1}{2}.tan(x-\frac{\pi}{4})+C\\
&e) \int\frac{1}{\sqrt{1+x} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})(\sqrt{x+1} +\sqrt{x})}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})dx\\
&=\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} +C\\
&=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\\
&g)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int\frac{1+x+2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int\frac{1+x}{3(1+x)(2-x)}dx+\int\frac{2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\frac{1}{3}\int\frac{1}{2-x}dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}dx\\
&=-\frac{1}{3}ln|2-x|+\frac{1}{3}ln|1+x|+C\\
&=\frac{1}{3}ln\big |\frac{1+x}{2-x}\big|+C
\end{aligned}

Đề trung học phổ thông Chuyên KHTN Lần 4

Đề bài:

Cho những số nguyên vẹn a và b thỏa mãn

\begin{aligned}
& \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx = a +\frac32 + lnb
\end{aligned}

Hãy tính tổng P.. = a + b

Hướng dẫn giải bài bác tập:

\begin{aligned}
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u=lnx
\\
dv=(2x+1)dx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=\frac1xdx
\\
v=x^2 +x
\end{cases}
\\
& \small \text{Khi bại liệt, } 
\\
& \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx
\\
& \small = (x^2 + x)lnx \left. \right|^2_1 - \intop_2^1 (x^2 + x).\frac1xdx
\\
& \small = 6ln2 - \intop_2^1 (x + 1)dx
\\
& \small = 6ln2 - \left.\left( \frac{x^2}{2} + x \right) \right|^2_1
\\
& \small = 6ln2 - (4 - \frac32)
\\
& \small = -4 + \frac32 + ln64
\\
& \small \text{Vậy a = -4 và b = 64. Lúc bại liệt. P.. = a + b = 60.} 
\end{aligned}

Đề đua test Sở Giáo Dục Bình Thuận

Đề bài:

Cho hàm số F(x) là nguyên vẹn hàm của hàm số f(x). Khi biết F(3) = 3, hãy tính tích phân:

Hướng dẫn giải bài bác tập:

Đối với dạng bài bác nâng lên này, những em tiếp tục phối hợp 2 cách thức là tích phân hàm ẩn (đặt ẩn phụ) và tích phân từng phần.

Xem thêm: cô nàng đẹp trai

\begin{aligned}
& \small \text{Đặt n = x + 1, khi đó: }
\\
& \small K = \intop_0^3 xf(x)dx
\\
& \small = \intop_{-1}^2 F(x+1)d(x+1)
\\
& \small = \intop_3^0 F(n)dn
\\
& \small =1
\\
& \small \text{Kế tiếp, tao bịa }
\begin{cases}
u=x
\\
dv=f(x)dx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=dx
\\
v=F(x)
\end{cases}
\\
& \small \text{Lúc đó: }
\\
& \small K = \intop_0^1xf(x)dx = \left.xF(x)\right|_0^3 - \intop_0^3F(x)dx = 3F(3) - 1 = 8
\end{aligned}

Tham khảo ngay lập tức những khoá học tập online của Marathon Education

Qua nội dung bài viết bên trên, Team Marathon Education đang được share cho tới những em lý thuyết cơ bạn dạng về nguyên vẹn hàm, bàng nguyên vẹn hàm cơ bạn dạng và không ngừng mở rộng và những công thức nguyên vẹn hàm cần thiết nắm rõ. Hy vọng nội dung bài viết sẽ hỗ trợ những em ghi nhỡ những công thức nguyên vẹn hàm này một cơ hội hiệu suất cao và chung áp dụng bọn chúng nhằm giải bài bác tập luyện một cơ hội nhanh gọn lẹ.

Hãy contact ngay lập tức với Marathon sẽ được tư vấn nếu như những em mong muốn học online nâng lên kỹ năng và kiến thức nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong số bài bác đánh giá và kỳ đua chuẩn bị tới!